Question

在數(shù)列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且滿足關(guān)系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出數(shù)列|a_n|的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明之；
（2）求證：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由原遞推式得到，再寫出前幾項(xiàng)，從而猜想數(shù)列|a_n|的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（2）利用（1）的結(jié)論，作差進(jìn)行比較，故可得證．
解答：解：（1）由原遞推式得到，，=
猜想得到…（3分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
1當(dāng)n=1時(shí)   a₁=t-1   滿足條件
2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，
則，∴，∴
即當(dāng)n=k+1時(shí)，原命題也成立．
由1、2知…（7分）
（2）==
而ntⁿ-（t^n-1+t^n-2+…+t+1）=（tⁿ-t^n-1）+（tⁿ-t^n-2）+…+（tⁿ-t）+（tⁿ-1）=t^n-1（t-1）+t^n-2（t²-1）+t^n-3（t³-1）+…+t（t^n-1-1）+（tⁿ-1）=
故t＞0，且t≠1時(shí)有a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n…（13分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．