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        1. 設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)=lnx-ax2
          (1)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)若對(duì)于區(qū)間(0,1)上任意的x,都有|f(x)|≥1成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)先利用函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得:f(x)的圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x,y)在g(x)的圖象上;然后再利用x∈[-1,0)時(shí),-x∈(0,1],則f(x)=g(-x)求出一段解析式,再利用定義域內(nèi)有0,可得f(0)=0;最后利用其為奇函數(shù)可求x∈(0,1]時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式,綜合即可求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)先求出f(x)在(0,1]上的導(dǎo)函數(shù),利用其導(dǎo)函數(shù)求出其在(0,1]上的單調(diào)性,進(jìn)而求出其最大值,只須讓起最大值與1相比即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:(1)∵g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
          ∴f(x)的圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x,y)在g(x)的圖象上.
          當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),-x∈(0,1],則f(x)=g(-x)=ln(-x)-ax2.(2分)
          ∵f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù),則f(0)=0.(4分)
          當(dāng)x∈(0,1]時(shí),-x∈[-1,0),f(x)=-f(-x)=-lnx+ax2.(6分)
          ∴f(x)=
          ln(-x)-ax2(-1≤x<0)
          0  (x=0)
          -lnx+ax2(0<x≤1)
          (7分)
          (2)由(1)知,f'(x)=-
          1
          x
          +2ax.
          ①若f'(x)≤0在(0,1]恒成立,則-
          1
          x
          +2ax≤
          0?a
          1
          2x2

          此時(shí),a
          1
          2
          ,f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)=a,
          ∴f(x)的值域?yàn)閇a,+∞)與|f(x)|≥1矛盾.(11分)
          ②當(dāng)a
          1
          2
          時(shí),令f'(x)=-
          1
          x
          +2ax=0
          ?x=
          1
          2a
          ∈(0,1],
          ∴當(dāng)x∈(0,
          1
          2a
          )時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
          當(dāng)x∈(
          1
          2a
          ,1]時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
          ∴f(x)min=f(
          1
          2a
          )=-ln
          1
          2a
          +a
          1
          2a
          )
          2
          =
          1
          2
          ln2a+
          1
          2

          由|f(x)|≥1,得
          1
          2
          ln2a+
          1
          2
          ≥1?
          e
          2
          .(15分)
          綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a
          e
          2
          .(16分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性,是對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合考查,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
          12
          對(duì)稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          例2.設(shè)f(x)是定義在[-3,
          2
          ]上的函數(shù),求下列函數(shù)的定義域(1)y=f(
          x
          -2)
          (2)y=f(
          x
          a
          )(a≠0)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,而當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=-x2+4x-4.
          (Ⅰ)求f(x)的解析式;
          (Ⅱ)對(duì)任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;
          (Ⅲ)對(duì)任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|≤1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(-2,1]上的圖象,則f(2013)+f(2014)=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•內(nèi)江一模)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2)且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=(
          1
          2
          x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是
          34
          ,2)
          34
          ,2)

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          同步練習(xí)冊(cè)答案