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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1x
          +ax+1-a,a∈R,
          (1)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
          (2)若a=1,試證f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù);
          (3)若a=1,試求f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值.
          分析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x),代入已知可得a值;
          (2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
          1
          x
          +x,任取x1,x2∈(0,1],且x1<x2,可判f(x1)-f(x2)>0,由單調(diào)性的定義可得;
          (3)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),同理可證函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),由此可得x=1處取最小值,計(jì)算可得.
          解答:解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},
          ∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
          即-
          1
          x
          -ax+1-a=-
          1
          x
          -ax-1+a,
          化簡(jiǎn)可得1-a=-1+a,解得a=1
          (2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
          1
          x
          +x,
          任取x1,x2∈(0,1],且x1<x2
          則f(x1)-f(x2)=
          1
          x1
          +x1
          -(
          1
          x2
          +x2

          =
          (x2-x1)(1-x1x2)
          x1x2
          ,
          ∵x1,x2∈(0,1],且x1<x2,
          ∴x2-x1>0,x1x2>0,1-x1x2>0
          ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
          ∴f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù);
          (3)由(2)知當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),
          同理可證函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),
          故在區(qū)間(0,+∞)上,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取最小值2
          點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,涉及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          |x|
          ,g(x)=1+
          x+|x|
          2
          ,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( 。
          A、(-∞,-1)∪(0,1)
          B、(-∞,-1)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )
          C、(-1,0)∪(
          -1+
          5
          2
          ,+∞)
          D、(-1,0)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1,x∈Q
          0,x∉Q
          ,則f[f(π)]=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx(a>0)

          (1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
          1
          2
          ,2
          ]上的最大值和最小值;
          (3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +
          +
          1
          n
          恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
          π
          6
          ),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案