Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+ax+1-a，a∈R，
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若a=1，試證f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)；
（3）若a=1，試求f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，奇函數(shù)滿足f（-x）=-f（x），代入已知可得a值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

x

+x，任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，由單調(diào)性的定義可得；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，同理可證函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，由此可得x=1處取最小值，計(jì)算可得．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即-

1

x

-ax+1-a=-

1

x

-ax-1+a，
化簡可得1-a=-1+a，解得a=1
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

x

+x，
任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

+x1-（

1

x2

+x2）
=

(x2-x1)(1-x1x2)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)；
（3）由（2）知當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
同理可證函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
故在區(qū)間（0，+∞）上，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值2

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，涉及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬中檔題．