Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A（1，0），過C的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為

2

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）經(jīng)過定點(diǎn)F（0，1）的兩直線l₁，l₂與橢圓分別交于P、Q、M、N，且l₁⊥l₂，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，利用橢圓的右頂點(diǎn)為A（1，0），過C的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為

2

，建立方程組，從而可求橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）分斜率組存在與存在分別討論，利用直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式，確定面積的表達(dá)式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

b=1 2b2 a = 2

，∴

b=1 a= 2 c=1

，∴橢圓方程為

y2

2

+x2=1…（4分）
（2）（�。┤鬺₁與l₂中一條斜率不存在，另一條斜率為0，則S=

1

2

•2a•

2b2

a

=2…（5分）
（ⅱ）若l₁與l₂得斜率均存在，設(shè)l₁：y=kx+1與橢圓方程聯(lián)立

y=kx+1 2x2+y2=2

消去y可得（2+k²）x+2kx-1=0，則△=8（k²+1＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k

2+k2

，x₁x₂=

-1

2+k2

∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

×

k2+1

k2+2

同理可得|MN|=2

2

×

k2+1

2k2+1

…（8分）
∴S=

1

2

|PQ||MN|=4

k4+2k2+1

2k4+5k2+2

=

4

2+ k2 k4+2k2+1

=

4

2+ 1 k2+ 1 k2 +2

由k2+

1

k2

≥2，得

16

9

≤S＜2…（10分）
由（ⅰ）（ⅱ）知，Smin=

16

9

，Smax=2…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確表示四邊形PMQN的面積是關(guān)鍵．