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        1. (2009•煙臺(tái)二模)已知可行域
          y≥0
          x-y+
          2
          ≥0
          x+y-
          2
          ≤0
          的外接圓C1與x軸交于點(diǎn)A1、A2,橢圓C2以線段A1A2為長(zhǎng)軸,離心率e=
          2
          2

          (1)求圓C1及橢圓C2的方程
          (2)設(shè)橢圓C2的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為圓C1上異于A1、A2的動(dòng)點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=2于點(diǎn)Q,判斷直線PQ與圓C1的位置關(guān)系,并給出證明.
          分析:(1)由題意可知,可行域是以A1(-
          2
          ,0),A2(
          2
          ,0)及點(diǎn)M(0,
          2
          )
          為頂點(diǎn)的三角形.因?yàn)?span id="isuxcqs" class="MathJye">kA1MkA2M=-1,所以A1M⊥A2M,所以△A1A2M為直角三角形,外接圓C1的方程為x2+y2=2.設(shè)橢圓的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ,由2a=2
          2
          e=
          2
          2
          ,能求出橢圓C2的方程.
          (2)設(shè)P(x0,y0)(x0≠±
          2
          ),則y02=2-x02
          ,當(dāng)x0=1時(shí),OP⊥PQ,直線PQ與圓C1相切.當(dāng)x0≠1時(shí),kPF=
          y0
          x0-1
          kOQ=-
          x0-1
          y0
          .當(dāng)x0=0時(shí),OP⊥PQ.當(dāng)x0≠0時(shí),kOP=
          y0
          x0
          ,OP⊥PQ.綜上,當(dāng)x0≠±
          2
          時(shí),故直線PQ始終與圓C1相切.
          解答:解:(1)由題意可知,可行域是以A1(-
          2
          ,0),A2(
          2
          ,0)及點(diǎn)M(0,
          2
          )
          為頂點(diǎn)的三角形(1分)
          因?yàn)?span id="bcr5o4h" class="MathJye">kA1MkA2M=-1,所以A1M⊥A2M
          ∴△A1A2M為直角三角形
          ∴外接圓C1是以原點(diǎn)O為圓心,線段|A1A2|=2
          2
          為直徑的圓
          故其方程為x2+y2=2(3分)
          設(shè)橢圓的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          2a=2
          2
          a=
          2

          e=
          2
          2
          ∴c=1,可得b=1
          故橢圓C2的方程為
          x2
          2
          +y2=1
          (5分)
          (2)直線PQ始終與圓C1相切(6分)
          設(shè)P(x0y0)(x0≠±
          2
          ),則y02=2-x02

          當(dāng)x0=1時(shí),P(1,1)或P(1,-1),此時(shí)Q(2,0)
          P(1,1)時(shí),kOP=1,kPQ=
          1-0
          1-2
          =-1
          kOP•kPQ=-1∴OP⊥PQ
          P(1,-1)時(shí),kOP=-1,kPQ=
          -1-0
          1-2
          =1
          kOP•kPQ=-1∴OP⊥PQ
          即當(dāng)x0=1時(shí),OP⊥PQ,直線PQ與圓C1相切(8分)
          當(dāng)x0≠1時(shí),kPF=
          y0
          x0-1
          ,kOQ=-
          x0-1
          y0

          所以直線OQ的方程為,y=-
          x0-1
          y0
          x
          ,因此點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,,-
          2x0-2
          y0
          )
          (9分)
          kPQ=
          -
          2x0-2
          y0
          -y0
          2-x0
          =
          2x0-2+y02
          y0(x0-2)
          =
          x0(2-x0)
          y0(2-x0)
          =-
          x0
          y0
          (10分)
          ∴當(dāng)x0=0時(shí),kPQ=0,OP⊥PQ
          ∴當(dāng)x0≠0時(shí),kOP=
          y0
          x0

          ∴kOP•kPQ=-1OP⊥PQ
          綜上,當(dāng)x0≠±
          2
          時(shí),OP⊥PQ,故直線PQ始終與圓C1相切(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•煙臺(tái)二模)已知f(x)=
          (3-a)x-4a,x<1
          logax,x≥1
          是(-∞,+∞)上的增函數(shù),那么a的取值范圍是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•煙臺(tái)二模)函數(shù)f(x)=sin(ωx+?)(ω>0,|?|<
          π
          2
          )的最小正周期為π,且其圖象向右平移
          π
          12
          個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•煙臺(tái)二模)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且f(1-x)=f(1+x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x2,則函數(shù)y=f(x)-log7x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•煙臺(tái)二模)已知函數(shù)f(x)=gx-x (g為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
          (1)求f(x)的最小值;
          (2)設(shè)不等式f(x)>ax的解集為P,若M={x|
          1
          2
          ≤x≤2
          },且M∩P≠∅,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)已知n∈N+,且S n=
          n
          0
          f(x)dx
          ,是否存在等差數(shù)列{an}和首項(xiàng)為f(1)公比大于0的等比數(shù)列{bn},使得Sn=
          n
          k=1
          (ak+bk)
          ?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•煙臺(tái)二模)某中學(xué)高三(2)班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來(lái)每次考試成績(jī)的莖葉圖如下,下列說(shuō)法正確的是(  )

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          同步練習(xí)冊(cè)答案