Question

已知曲線y=x² （x＞0）在點(diǎn)P處切線恰好與圓C：x²+（y+1）²=1相切，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

6

，6）

．

Answer 1

分析：先設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出化簡(jiǎn)，根據(jù)此直線與圓C：x²+（y+1）²=1相切，轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離等于半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀），由題意知曲線y=x²在P點(diǎn)的切線斜率為k=2x₀，
切線方程為2x₀x-y-x₀²=0，而此直線與圓C：x²+（y+1）²=1相切，
∴d=

|1- x 2 0 |

4 x 2 0 +1

=1．解得x₀=±

6

（負(fù)值舍去），y₀=6．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

6

，6）．
故答案為：（

6

，6）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，以及直線與圓相切的條件，屬于基礎(chǔ)題．