Question

某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)一百臺，需要新增加投入2.5萬元．經(jīng)調(diào)查，市場一年對此產(chǎn)品的需求量為500臺；銷售收入為R（t）=6t﹣t²（萬元），（0＜t≤5），其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）．（說明：①利潤=銷售收入﹣成本；②產(chǎn)量高于500臺時，會產(chǎn)生庫存，庫存產(chǎn)品不計于年利潤．）
（1）把年利潤y表示為年產(chǎn)量x（x＞0）的函數(shù)；
（2）當年產(chǎn)量為多少時，工廠所獲得年利潤最大？

Answer 1

解：（1）當0＜x≤5時，f（x）=6x﹣x²﹣0.5﹣2.5x=﹣x²+3.5x﹣0.5 ，
當x＞5時，f（x）=6×5﹣×5²﹣0.5﹣2.5x=17﹣2.5x ，
即f（x）= 。
（2）當0＜x≤5時，f（x）=﹣（x²﹣7x+1）=﹣（x﹣）²+ ，
 ∴當x=3.5∈（0，5]時，f（x）max==5.625 。
當x＞5時，f（x）為（5，+∞）上的減函數(shù)，
f（x）＜f（5）=17﹣2.5×5=4.5，又5.625＞4.5 ，，
∴f（x）max=f（3.5）=5.625 。
故當年產(chǎn)量為350臺時，工廠所獲年利潤最大。