Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，于，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求出平面的一個(gè)法向量并證明平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：這是一道應(yīng)用空間向量解決空間平行與空間角問(wèn)題的試題.（1）先確定、、的坐標(biāo)，然后設(shè)出平面的一個(gè)法向量為，由確定的一個(gè)取值，最后驗(yàn)證，即可作出平面的判斷；（2）先找到的一個(gè)法向量為，然后計(jì)算，最后結(jié)合圖形，確定二面角的余弦值是，還是.

試題解析：由題設(shè)知：在中，

、、、 4分

（1） 5分

， 6分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則

令，得 8分

∵

∴平面 10分

（2）由（1）得平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為 12分

設(shè)二面角的平面角為，則

即二面角的余弦值為 14分.

考點(diǎn)：1.空間向量的解決空間平行中的應(yīng)用；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.