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        1. 已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R的定義域為[-1,1].
          (1)記|f(x)|的最大值為M,求證:M≥
          1
          2
          .
          (2)求出(1)中的M=
          1
          2
          時,f(x)
          的表達式.
          分析:(1)利用|f(x)|的最大值為M,絕對值不等式|a-b|+|a+b|≥|2a|推出M≥
          1
          2

          (2)利用(1)的條件和結(jié)論對-b,1+a+b,1-a+b討論,求出求出a、b的值,確定f(x)的表達式.
          解答:解:(1)f(x)=x2+ax+b
          M≥|f(0)|=|b|
          M≥|f(1)|=|1+a+b|
          M≥|f(-1)|=|1-a+b|
          4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|(-2b)+(1+a+b)+(1-a+b)|=2
          M≥
          1
          2

          [-b,1+a+b,1-a+b同號時取等號]
          (2)I.若-b,1+a+b,1-a+b均≥0,M=
          1
          2
          ,則:
          1+a+b≤
          1
          2
          …①
          1-a+b≤
          1
          2
          …②
          -b≤
          1
          2
          …③
          ①+②:2+2b≤1,b≤-
          1
          2

          ③:b≥-
          1
          2

          ∴b=-
          1
          2

          代回①:a≤0,②:a≥0
          ∴a=0
          f(x)=x2-
          1
          2

          II.若-b,1+a+b,1-a+b均<0,M=
          1
          2
          ,則:
          0>1+a+b≥-
          1
          2
          …①
          0>1-a+b≥-
          1
          2
          …②
          0>-b≥-
          1
          2
          …③
          ①+③:0>1+a≥-1,-2≤a<-1
          ②+③:0>1-a≥-1,1<a≤2
          無解
          綜上:f(x)=x2-
          1
          2
          點評:本題考查一元二次不等式的應(yīng)用,絕對值不等式的證明,分類討論思想,是中檔題.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知f(x)=x2+x+1,則f(
          2
          )
          =
           
          ;f[f(
          2
          )
          ]=
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知f(x)=x2+2x,數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=f′(an)-n-1,數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=f(bn).
          (1)求證:數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列;
          (2)令cn=
          1
          an-n-1
          ,求證:c2+c3+…+cn
          2
          3

          (3)求證:
          1
          3
          1
          1+b1
          +
          1
          1+b2
          +…+
          1
          1+bn
          1
          2

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          (2)求f(x)+
          9f(x)
          的最小值及對應(yīng)的x值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          (Ⅱ)若f(x)和g(x)在區(qū)間(-∞,(a+1)2]上都是減函數(shù),求a的取值范圍;
          (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,比較f(1)和
          16
          的大小.

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