Question

a，b∈R，若關(guān)于x的方程x²+（a+bi）x+4+3i=0有實(shí)數(shù)根，則|a|的最小值是

4

．

Answer 1

分析：設(shè)方程的實(shí)根為m，代入方程x²+（a+bi）x+4+3i=0，得出關(guān)于a，b的制約關(guān)系式，看作關(guān)于b的函數(shù)，求函數(shù)最值可以得出結(jié)果．

解答：解：設(shè)方程的實(shí)根為m，代入方程x²+（a+bi）x+4+3i=0得m²+（a+bi）m+4+3i=0，整理，得m²+am+4+（bm+3）i=0
所以

m2+am+4=0① bm+3=0②

，易知m≠0由②得m=-

3

b

，代入①消去m

9

b2

-

3a

b

+4=0，∴a=

9+4b2

3b

所以|a|=

9+4b2

3|b|

≥

2 9•4b2

3|b|

═

2×6|b|

3|b|

=4，當(dāng)且僅當(dāng)9=4b²=，b=±

3

2

時(shí)取到最小值．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題借助于復(fù)系數(shù)二次方程的根的性質(zhì)，求參數(shù)范圍，考查消元法，基本不等式的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化能力．