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        1. 在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的四張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,記X=|x-2|+|y-x|.
          (1)求隨機(jī)變量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率;
          (2)求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
          (3)在x≤2的條件下,求X≥4的概率.
          分析:(1)首先計(jì)算出有放回地抽兩張卡片共有 16種情況,再由題意可得:|x-2|≤2,|y-x|≤3,即可得到X=|x-2|+|y-x|≤5,此時(shí)x=4,y=1進(jìn)而得到答案.
          (2)由題意可得:X的所有取值為0,1,2,3,4,5,再結(jié)合題意分別求出其發(fā)生的總數(shù),即可分別求出其發(fā)生的概率,進(jìn)而求出x的分布列與數(shù)學(xué)期望.
          (3)有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,并且滿足x≤2共有2×4=8種情況,再求出滿足X≥4的情況只有x=1,y=4進(jìn)而得到答案.
          解答:解:(1)∵x,y可能的取值為1、2、3、4,
          ∴|x-2|≤2,|y-x|≤3,
          ∴X=|x-2|+|y-x|≤5,此時(shí)x=4,y=1
          ∴隨機(jī)變量X的最大值為5,
          ∵此抽取是有放回地抽兩張卡片,
          ∴所有情況有 4×4=16種,
          P(X=5)=
          1
          16

          答:隨機(jī)變量X的最大值為5,事件“X取得最大值”的概率為
          1
          16

          (2)由題意可得:X的所有取值為0,1,2,3,4,5,
          由題中條件可得:
          X=0時(shí),只有 x=2,y=2這一種情況,
          X=1時(shí),有 x=2,y=3或x=2,y=1或x=3,y=3或x=1,y=1,共有四種情況,
          X=2時(shí),有 x=2,y=4或x=4,y=4或x=3,y=4或x=3,y=2,或x=1,y=2共有五種情況,
          X=3時(shí),有 x=1,y=3或x=3,y=1或x=4,y=3,共有三種情況,
          X=4時(shí),有 x=1,y=4或x=4,y=2,共有兩種情況,
          X=5時(shí),此時(shí)x=4,y=1,
          ∴P(X=0)=
          1
          16
          ,P(ξ=1)=
          4
          16
          =
          1
          4
          ,P(ξ=2)=
          5
          16
          ,P(X=3)=
          3
          16
          ,P(ξ=4)=
          2
          16
          =
          1
          8
          ,P(ξ=5)=
          1
          16
          ,
          所以隨機(jī)變量X的分布列為:
           x  0   1 2  3    4   5
           P  
          1
          16
           
          1
          4
           
          5
          16
            
          3
          16
            
          1
          8
            
          1
          16
          因此,X的數(shù)學(xué)期望EX=0×
          1
          16
          +1×
          1
          4
          +2×
          5
          16
          +3×
          3
          16
          +4×
          1
          8
          +5×
          1
          16
          =
          9
          4

          (3)有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,并且滿足x≤2共有2×4=8種情況,
          其中滿足X≥4的情況只有x=1,y=4,
          所以在x≤2的條件下,求X≥4的概率為:
          1
          8
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概率、分布列與數(shù)學(xué)期望,解題的關(guān)鍵是能夠正確求出分事件發(fā)生的概率,本題知識(shí)性較強(qiáng),考查到了求概率,求分布列,求期望,是概率中一個(gè)典型題,題后要總結(jié)其解題脈絡(luò).
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