Question

（本小題滿分13分）

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”.

(1)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

(2)若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：“若的定義域?yàn)镈，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實(shí)數(shù)根；

(3)設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對于定義域中的任意的，當(dāng)且時，．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)易證函數(shù)滿足條件①②，因此.……………4分

(2)假設(shè)存在兩個實(shí)根，則，,

不妨設(shè)，由題知存在實(shí)數(shù)，使得成立.

∵，且，∴與已知矛盾，

所以方程只有一個實(shí)數(shù)根；……………8分

(3) 不妨設(shè)，∵，∴為增函數(shù)，∴，

又∵,∴函數(shù)為減函數(shù)，∴，

∴，即，

∴

 

【解析】略