Question

（1）已知f(x)=

2

3x-1

+m是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值；
（2）畫(huà)出函數(shù)y=|3^x-1|的圖象，并利用圖象回答：k為何值時(shí)，方程|3X-1|=k無(wú)解？有一解？有兩解？

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的定義，代入一對(duì)相反變量即可直接求常數(shù)m的值；
（2）先取絕對(duì)值畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖象，再利用函數(shù)的零點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)把y=k在圖象上進(jìn)行來(lái)回平移看交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可找到結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)?^x-1≠0?x≠0．故函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}．
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故有f（-1）=-f（1）?

2

3-1-1

+m=-(

2

31-1

+m)?m=1．
所以所求常數(shù)m的值為1；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)．所以把研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)k＜0時(shí)，直線y=k與函數(shù)y=|3^x-1|的圖象無(wú)交點(diǎn)，即方程無(wú)解；
當(dāng)k=0或k≥1時(shí)，直線y=k與函數(shù)y=|3^x-1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，直線y=k與函數(shù)y=|3^x-1|的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩解．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)主要考查函數(shù)的奇偶性，第二問(wèn)主要研究函數(shù)的圖象，都是考查基礎(chǔ)知識(shí)，綜合在一起屬于中檔題目．