Question

【題目】已知橢圓：，點(diǎn).

（1）設(shè)是橢圓上任意的一點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，記，求的取值范圍；

（2）已知點(diǎn)，，是橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，記為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)的直線，為截直線所得的線段長(zhǎng)，試將表示成直線的斜率的函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為，先求出和，然后運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算能夠求出的取值范圍；（2）根據(jù)為雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，可知直線的斜率，再由題設(shè)條件根據(jù)的不同取值范圍試將表示為直線的斜率的函數(shù).

試題解析：（1）設(shè)，則，

所以，又，

所以，又，所以.

（2）因?yàn)?/span>是橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則的斜率，且.

當(dāng)時(shí)，截直線所得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是直線與直線的交點(diǎn)，由已知，，

聯(lián)立解得，聯(lián)立解得，

于是；

當(dāng)時(shí)，截直線所得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是直線與直線的交點(diǎn)，由已知，

聯(lián)立解得，

于是.

綜上所述，.