Question

設(shè)a₁，a₂，…，a₂₀是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．對(duì)于滿足0≤k≤19的整數(shù)k，數(shù)列b1，b2，…，b20由bn=

an+k an+k-20

當(dāng)1≤n≤20-k時(shí) 當(dāng)20-k＜n≤20時(shí)

確定．記M=

20

n=1

anbn．
（I）當(dāng)k=1時(shí)，求M的值；
（II）求M的最小值及相應(yīng)的k的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n，代入到b_n中，進(jìn)而把a(bǔ)n和bn代入M=

20

n=1

anbn求得M．
（2）根據(jù)（1）中的a_n和b_n化簡(jiǎn)整理M=

20

n=1

anbn=

220-1

3

(2k+

220

2k

).進(jìn)而利用均值不等式求得M的最小值和此時(shí)的k．

解答：解：（I）顯然a_n=2^n-1，其中1≤n≤20．
當(dāng)k=1時(shí)，bn=

an+1，?當(dāng)1≤n≤19時(shí) a1，??n=20時(shí).

所以，M=

20

n=1

anbn=

19

n-1

anan+1+a20a1=

19

n=1

2n-1•2n+219=

19

n=1

22n-1+219
=

2[(22)19-1]

22-1

+219=

239-2

3

+219.
（II）解：M=

20

n=1

anbn=

20-k

n-1

anan+k+a20a1=

20

n=21-k

anan+k-20=

20-k

n=1

2n-1•2n+k-1+

20

n=21-k

2n-1•2n+k-21=

20-k

n=1

22n+k-2+

20

n=21-k

22n+k-22
=2k•

420-k-1

4-1

+220-k•

4k-1

4-1

=

1

3

(240-k-2k)+

1

3

(220+k-220-k)
=

220-1

3

(2k+

220

2k

)≥

220-1

3

•2

220

=

231-211

3

.
當(dāng)2k=

220

2k

，即k=10時(shí)，M=

231-211

3

.
所以，M的最小值為

231-211

3

，此時(shí)k=10.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．