Question

已知點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N（4，0）作直線h與點(diǎn)M的軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）利用|MA|=|MB|，根據(jù)拋物線的定義可知M的軌跡為以A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線．進(jìn)而求得拋物線的方程．
（2）當(dāng)x⊥x時(shí)，把直線h與拋物線的方程聯(lián)立求得y，P，Q坐標(biāo)可得，進(jìn)而求得K_OP=1，K_OQ=-1推斷出OP⊥OQ；當(dāng)h與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁?x₂，則y₁?y₂的值可得，進(jìn)而求得

OA

•

OB

推斷出OP⊥OQ．

解答：解：（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的軌跡為以A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線．
∴M的軌跡方程為y²=4x．
（2）當(dāng)h⊥x時(shí)，h：x=4由

x=4 y2=4x

得y=±4
此時(shí)，P（4，4），Q（4，-4）
K_OP=1，K_OQ=-1∴OP⊥OQ
當(dāng)h與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4）
由

y=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
x₁?x₂=16，y1?y2=-

x 1 1 ? x 2 2

=-16
∴

OA

•

OB

=x₁?x₂+y₁?y₂=0
∴OP⊥OQ

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的定義．判斷直線垂直的方法一般是利用斜率之積為-1或向量之積為0的方法．