Question

【題目】已知點(diǎn) ，圓： ，過的動(dòng)直線與⊙交兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程以及△面積。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為3x-y-8=0，△面積是

【解析】試題分析：（Ⅰ）圓C的方程可化為（x-4）2+y2=16，由此能求出圓心為C（4，0），半徑為4，設(shè)M（x，y），求出向量CM，MP的坐標(biāo)，由運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理求出M的軌跡方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M的軌跡是以點(diǎn)N（3，-1）為圓心， 為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程．利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出△POM的面積

試題解析：

（Ⅰ）圓C的方程可化為： ，所以圓心C(4,0)半徑為4。

設(shè)M（x,y）,則（x-4，y），則由條件知，

故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，即。由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的軌跡是以點(diǎn)N（3，-1）為圓心，以為半徑的圓。又，故O在線段PM的垂直平分線上，顯然P在圓N上，從而ON⊥PM。KON=,所以直線的斜率為3，故直線的方程為3x-y-8=0.又=，O到的距離為，由勾股定理可得|PM|=,所以△面積是。