Question

若函數(shù)f(x)=

a•2x-a-1

2x-1

為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域；          
（2）確定實數(shù)a的值；
（3）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的成立的條件，求函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f（-x）=-f（x），然后求a．
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則2^x-1≠0，解得x≠0，即函數(shù)的定義域為{x|x≠0}．
（2）∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即

a?2-x-a-1

2-x-1

=-

a?2x-a-1

2x-1

，
∴

a-(a+1)2x

1-2x

=

a?2x-a-1

1-2x

，整理得a-（a+1）2^x=a?2^x-（a+1）恒成立，
∴a=-（a+1），解得a=-

1

2

．
（3）∵a=-

1

2

．
∴f（x）=

- 1 2 ?2x- 1 2

2x-1

=-

1

2

?

2x+1

2x-1

=-

1

2

?

2x-1+2

2x-1

=-

1

2

-

2

2x-1

．
函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)．
證明：在定義域上任設(shè)兩個變量x₁，x₂，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=-

1

2

?

2x+1

2x-1

=

2

2x2-1

-

2

2x1-1

=

2(2x1-2x2)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，2x2-1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義及證明過程．