Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，M（n，-2）是圖象上的一點，A、B是二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點，且AM⊥BM，則a的值為（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：設(shè)出函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)AM⊥BM列出關(guān)于A，B兩點的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，利用根與系數(shù)關(guān)系把A，B兩點的橫坐標(biāo)的和與積代入上面得到的關(guān)系式，再根據(jù)點在拋物線上得到另一關(guān)系式，聯(lián)立后可求得a的值．

解答：解：設(shè)函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
所以x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，
因為AM⊥BM，所以AM²+BM²=AB²，
所以(x1-n)2+4+(x2-n)2+4=(x2-x1)2，
整理得，n²-n（x₁+x₂）+4+x₁x₂=0，
所以，n2+

b

a

n+4+

c

a

=0，
所以an²+bn+4a+c=0．
因為M（n，-2）是圖象上的一點，所以an²+bn+c=-2，
則-4a=-2，所以a=

1

2

．
故選C．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了學(xué)生靈活處理和解決問題的能力，是中檔題．