Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求的值；

（3）求證：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】分析：（1）直接根據(jù)原題得到，，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)先求出，再求的值.(3) 設(shè)，先求出四邊形的面積，再化簡(jiǎn)得到四邊形的面積為定值.

詳解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，①

又因?yàn)橛医裹c(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，所以，②

由①②得，，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）因?yàn)?/span>，所以，直線的方程為，

由，得，解得（舍）或，

可得，

直線的方程為，令，得，

所以.

（3）設(shè)，則，即.

直線的方程為，令，得.

直線的方程為，令，得.

所以四邊形的面積

為定值.