Question

【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求正整數(shù)的值；

（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，由題意列式求出公差和公比，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）分和，利用即可求出滿足該等式的正整數(shù)的值；

（3）求出和，假設(shè)存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)，設(shè)，變形得到，由此式得到的可能取值，然后依次分類討論求解．

（1）設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，

則，，，，，

，，即，

又，即，

所以，，解得，

對(duì)于，有，.

故；

（2）若，則由，得，得，得，；

若，由，得，

此時(shí)左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立．

故滿足條件的整數(shù)；

（3）對(duì)于，有．

．

假設(shè)存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)，

又由（1）知，數(shù)列中的每一項(xiàng)都為整數(shù)，故可設(shè)，

則，變形得到①，

，，，．

又，故可能取、、.

當(dāng)時(shí)，，，①不成立；

當(dāng)時(shí)，則.

若，.

令，則.

，則，則.

因此，，

故只有，此時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，，.

綜上，存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的第三項(xiàng)；

存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的第二項(xiàng)．