Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB中點．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值；
（3）求二面角B-AC₁-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接C₁B交CB₁于O點，要證AC₁∥平面CDB₁，只需證明AC₁平行平面CDB₁內(nèi)的直線DO即可．
（2）由（1）知DO∥AC₁，∠COD就是異面直線AC₁與B₁C所成的角．利用余弦定理求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值；
（3）在側面ACC₁A₁內(nèi)過C作CE⊥AC₁于E，連接BE，說明∠BEC就是二面角B-AC₁-C的平面角，然后求二面角B-AC₁-C的正切值．

解答：解：（1）證明：連接C₁B交CB₁于O點，
由已知四邊形BCC₁B₁為矩形，
∴O為C₁B的中點，又D為AB的中點，
連接DO，則DO∥AC₁，
而AC₁?面B₁CD，DO?面B₁CD，
∴AC₁∥面CDB₁．（5分）
（2）解：由（1）知DO∥AC₁，
∴∠COD就是異面直線AC₁與B₁C所成的角．
依題設知：CD=

1

2

AB=

5

2

，CO=

1

2

CB1=2

2

，DO=

1

2

AC1=

5

2

，
∴Cos∠COD=

CO2+DO2-CD2

2•CO•DO

=

8+ 25 4 - 25 4

2•2 2 • 5 2

=

2 2

5

即異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為

2 2

5

．（9分）
（3）解：依題設BC⊥側面ACC₁A₁，則在側面ACC₁A₁內(nèi)過C作CE⊥AC₁于E，連接BE，由AC₁⊥面BCE知AC₁⊥BE，∴∠BEC就是二面角B-AC₁-C的平面角．在Rt△BCE中，BC=4，CE=

3×4

5

，∴tan∠BEC=

BC

CE

=

5

3

，即二面角B-AC₁-C的正切值為

5

3

．

點評：本題考查直線與平面的垂直的判定，二面角的求法，異面直線所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．