Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（1）若f（t²-t-1）+f（t-2）＜0，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若x∈[0，

1

2

]時，函數(shù)f（x）的值域是[0，1]，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

1+x

1-x

＞0，由此求得函數(shù)y=f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}，根據(jù)f（-x）=-f（x），可得y=f（x）為奇函數(shù)．設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，

1+x2

1-x2

-

1+x1

1-x1

=

2(x2-x1)

(1-x2)(1-x1)

＞0，分當(dāng)a＞1和當(dāng)0＜a＜1兩種情況，分別求得f（x）的單調(diào)性．
（2）分a＞1、0＜a＜1兩種情況，分別根據(jù)f（x）在[0，

1

2

]上的單調(diào)性及f（0）=1求得a的值．

解答：解：（1）由已知可得，

1+x

1-x

＞0，即

1+x

x-1

＜0，
所以-1＜x＜1，
所以函數(shù)y=f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}，
因為f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
所以y=f（x）為奇函數(shù)．
設(shè)x₁，x₂是（-1，1）上的任意兩個實數(shù)，
則△y=f(x2)-f(x1)=loga

1+x2

1-x2

-loga

1+x1

1-x1

．
因為

1+x2

1-x2

-

1+x1

1-x1

=

2(x2-x1)

(1-x2)(1-x1)

＞0，
所以當(dāng)a＞1時，y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，y=f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
所以原不等式可化為f（t²-t-1）＜f（2-t）．
當(dāng)a＞1時，由

t2-t-1＜2-t 2-t＜1 t2-t-1＞-1

，解得1＜t＜

3

；
當(dāng)0＜a＜1時，由

t2-t-1＞2-t 2-t＞-1 t2-t-1＜1

，解得

3

＜t＜2．
（2）當(dāng)a＞1時，f（x）在[0，

1

2

]單調(diào)遞增，則由f（0）=0，f(

1

2

)=1，求得a=3．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[0，

1

2

]上單調(diào)遞減，此時f（0）=1無解．
綜上可知，a=3．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題．