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        1. 已知兩定點(diǎn)數(shù)學(xué)公式,動點(diǎn)P滿足數(shù)學(xué)公式,由點(diǎn)P向x軸作垂線PQ,垂足為Q,點(diǎn)M滿足數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)M的軌跡為C.
          (I)求曲線C的方程;
          (II)若線段AB是曲線C的一條動弦,且|AB|=2,求坐標(biāo)原點(diǎn)O到動弦AB距離的最大值.

          解:(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)P(x0,y0),則,
          ∵動點(diǎn)P滿足,∴,化為
          即動點(diǎn)P的軌跡方程為
          設(shè)動點(diǎn)M(x,y),則Q(x,0),如圖所示,
          ,
          ,化為,
          代入動點(diǎn)P的軌跡方程得x2+2y2=2,即曲線C的方程為
          (Ⅱ)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),∵|AB|=2=短軸長,∴直線AB經(jīng)過原點(diǎn),此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離=0;
          當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+t,
          聯(lián)立,消去y得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
          ∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),∴△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,化為t2<1+2k2.(*)
          ,,
          ∴|AB|=,
          ∴22=
          化為.(**)
          原點(diǎn)O到直線AB的距離d=,∴,
          把(**)代入上式得=,當(dāng)且僅當(dāng),即k2=0,k=0時(shí)取等號.
          此時(shí),滿足(*)式.
          ,∴,即原點(diǎn)O到直線AB的最大距離d=
          綜上可知:坐標(biāo)原點(diǎn)O到動弦AB距離的最大值是
          分析:(Ⅰ)先求出動點(diǎn)P的軌跡方程,再根據(jù)已知條件用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P,使用“代點(diǎn)法”即可得出;
          (Ⅱ)先對直線BA的斜率討論,把直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
          點(diǎn)評:熟練掌握直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、“代點(diǎn)法”是解題的關(guān)鍵.
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