Question

設(shè)a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定義域是．給出下列幾個(gè)命題：
①f（x）在處取得小值；
②是f（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間；
③f（x）的最大值為2；
④使得f（x）取得最大值的點(diǎn)僅有一個(gè)．
其中正確命題的序號(hào)是________．（將你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

②③④
分析：利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），然后由f（）=，求出a的值，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為f（x）=2sin（2x-），然后根據(jù)x的范圍求出2x-的范圍，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及最值即可選出答案．
解答：f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x=asinxcosx-cos²x+sin²x=sin2x-cos2x，
由f（）=，得=，解得a=2．
所以f（x）=2sin（2x-），
當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x-∈[，]，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x-∈[，]，f（x）是減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在[，]上的最大值是：f（）=2，
故③正確；
且當(dāng)f（x）取得最大值的點(diǎn)僅有一個(gè)．
故④正確；
由上述單調(diào)性知：是f（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，
故②正確；
又f（）=，f（）=，
所以函數(shù)f（x）在[，]上的最小值為：f（）=；
故①錯(cuò)誤．
故答案為：②③④．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查計(jì)算能力，常考題型．