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        1. (14分)在四棱錐PABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,EPD的中點,PA=2AB=2.

          (Ⅰ)求四棱錐PABCD的體積V;

          (Ⅱ)若FPC的中點,求證PC⊥平面AEF;

          (Ⅲ)求證CE∥平面PAB

           

          【答案】

          (Ⅰ)V

          (Ⅱ)略

          (Ⅲ)略

          【解析】解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,

          BAC=60°,∴BCAC=2.

          在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,

          CD=2,AD=4.

          SABCD

          .……………… 3分

          V.     ……………… 5分

          (Ⅱ)∵PACAFPC的中點,

          AFPC.            ……………… 7分

          PA⊥平面ABCD,∴PACD

          ACCD,PAACA,

          CD⊥平面PAC.∴CDPC

          EPD中點,FPC中點,

          EFCD.則EFPC.       ……… 9分

          AFEFF,∴PC⊥平面AEF.…… 10分

          (Ⅲ)證法一:

          AD中點M,連EM,CM.則EMPA

          EM 平面PABPA平面PAB,

          EM∥平面PAB.   ……… 12分

          在Rt△ACD中,∠CAD=60°,ACAM=2,

          ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MCAB

          MC 平面PAB,AB平面PAB,

          MC∥平面PAB.  ……… 14分

          EMMCM

          ∴平面EMC∥平面PAB

          EC平面EMC,

          EC∥平面PAB.   ……… 15分

          證法二:

          延長DCAB,設它們交于點N,連PN

          ∵∠NAC=∠DAC=60°,ACCD,

          CND的中點.         ……12分

          EPD中點,∴ECPN.……14分

          EC 平面PAB,PN 平面PAB,

          EC∥平面PAB.   ……… 15分

           

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          ⑵求證:PB平面EFD

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          (2)求證:CE∥平面PAB;

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          (3)求三棱錐PACE的體積V

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