Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長為2

3

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB的垂直平分線l₀與y軸交于M（0，b），求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可知a和c的值，進(jìn)而求得b，雙曲線方程可得．
（2）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式和韋達(dá)定理求得k的范圍．
（3）根據(jù)（1）中的x_A+x_B求得y_A+y_B的表達(dá)式，則AB的中點P的坐標(biāo)可得，設(shè)出直線l₀的方程，將P點坐標(biāo)代入直線l₀的方程求得b和k的關(guān)系是，進(jìn)而根據(jù)k的范圍確定b的范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得：a=

3

，c=2，再由a²+b²=c²，∴b²=1，
∴雙曲線方程為

x2

3

-y²=1．
（2）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
將y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1，
得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由題意知

△=36(1-k2)＞0 xA+xB= 6 2 k 1-3k2 ＜0 xAxb= -9 1-3k2 ＞0

解得

3

3

＜k＜1．
∴當(dāng)

3

3

＜k＜1時，l與雙曲線左支有兩個交點．
（3）由（2）得：x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，
∴y_A+y_B=（kx_A+

2

）+（kx_B+

2

）
=k（x_A+x_B）+2

2

=

2 2

1-3k2

，
∴AB的中點P的坐標(biāo)為（

3 2k

1-3k2

，

2

1-3k2

）．
設(shè)直線l₀的方程為：y=-

1

k

x+b，
將P點坐標(biāo)代入直線l₀的方程，得b=

4 2

1-3k2

．
∵

3

3

＜k＜1，∴-2＜1-3k²＜0，
∴b＜-2

2

．
∴b的取值范圍為（-∞，-2

2

）．

點評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與雙曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和運算的能力．