Question

如圖，在幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，且∠ACB=90°，平面ACE⊥平面ABCD，EF∥BC，AC=BC=2，AE=EC=

2

．
（Ⅰ）求證：平面ACE⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求三棱錐D-ACE的體積．

Answer 1

分析：（I）由平面AC²=AE²+CE²平面，知AE⊥EC，由此能夠證明BC⊥AE，進(jìn)而由線面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，可得平面ACE⊥平面BCEF；
（II）設(shè)AC的中點為G，連接EG，由AE=CE，知EG⊥AC，由BC⊥平面AEC，知EG⊥BC，由此推導(dǎo)出點F到平面ABCD的距離就等于點E到平面ABCD的距離，由此能求出三棱錐D-ACF的體積．

解答：證明：（I）∵平面AC²=AE²+CE²平面，
∴AE⊥EC，且平面ACE∩平面，AE⊥ECBF，BC⊥AC，
BC?平面BCEF，∴BC⊥平面AEC．…（2分）
∴BC⊥AE，…（3分）
又AC=

2

，AE=EC=1，∴AC²=AE²+CE²
∴AE⊥EC…（4分）
且BC∩EC=C，∴AE⊥平面ECBF．…（6分）
解：（II）設(shè)AC的中點為G，連接EG，
∵AE=CE，
∴EG⊥AC
由（I）知BC⊥平面AEC，
∴BC⊥EG，即EG⊥BC，
又AC∩BC=C，
∴EG⊥平面ABCD…（8分）
EF∥BC，EF?平面ABCD，
所以點F到平面ABCD的距離就等于點E到平面ABCD的距離
即點F到平面ABCD的距離為EG的長…（10分）
∴三棱錐D-ACE的體積VD=

1

3

S_△ACD•EG，
∵S_△ACD=

1

2

AC•AD=

1

2

×

2

×

2

=1
EG=

1

2

AC=

2

2

∴V=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

，
即三棱錐D-ACF的體積為

2

6

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．