Question

如圖，將一塊直角三角形板ABO放置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．點P（1，

1

2

）是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中陰影部分（即△POB）受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN，設(shè)直線MN的斜率k．
（Ⅰ）試用k表示△AMN的面積S，并指出k的取值范圍；
（Ⅱ）試求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，先求直線MN，OA的方程，可解得 N(2，k+

1

2

)，M(

1 2 -k

1-k

，

1 2 -k

1-k

)．且 -

1

2

≤k≤

1

2

，
從而可求 |AN|=

3

2

-k，|AM|=

2 ( 3 2 -k)

1-k

．進而可求△AMN的面積S．
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)S′=

(3-2k)(2k-1)

8(1-k)2

，可知S=f（k）在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)，從而可求S取得最大值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，MN：y=k(x-1)+

1

2

，OA：y=x，
解得 N(2，k+

1

2

)，M(

1 2 -k

1-k

，

1 2 -k

1-k

)．且 -

1

2

≤k≤

1

2

，
于是 |AN|=

3

2

-k，|AM|=

2 ( 3 2 -k)

1-k

．
所以 S=

1

2

|AN||AM|sin45°=

1

2

•(

3

2

-k)•

2 ( 3 2 -k)

1-k

•

2

2

=

(3-2k)2

8(1-k)

．
故S=

(3-2k)2

8(1-k)

，(-

1

2

≤k≤

1

2

)．
（Ⅱ）S′=

(3-2k)(2k-1)

8(1-k)2

，
因為當(dāng)-

1

2

≤k≤

1

2

時，S'≤0，
故S=f（k）在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)．
所以當(dāng)k=-

1

2

時，S取得最大值

4

3

．

點評：本題考查的重點是函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積公式，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式．