Question

（20）在研究并行計算的基本算法時，有以下簡單模型問題：

用計算機(jī)求n個不同的數(shù)v₁，v₂，…，v_n的和=v₁+v₂+v₃+…+v_n.計算開始前，n個數(shù)存貯在n臺由網(wǎng)絡(luò)連接的計算機(jī)中，每臺機(jī)器存一個數(shù).計算開始后，在一個單位時間內(nèi)，每臺機(jī)器至多到一臺其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺機(jī)器可同時完成上述工作.

為了用盡可能少的單位時間，使各臺機(jī)器都得到這n個數(shù)的和，需要設(shè)計一種讀和加的方法.比如n=2時，一個單位時間即可完成計算，方法可用下表表示：

機(jī)器號	初始時	第一單位時間		第二單位時間		第三單位時間
		被讀 機(jī)號	結(jié)  果	被讀 機(jī)號	結(jié)  果	被讀 機(jī)號	結(jié)  果
1	v1	2	v1+v2
2	v2	1	v2+v1

 

（Ⅰ）當(dāng)n=4時，至少需要多少個單位時間可完成計算？

把你設(shè)計的方法填入下表

機(jī)器號	初始時	第一單位時間		第二單位時間		第三單位時間
		被讀 機(jī)號	結(jié)  果	被讀 機(jī)號	結(jié)  果	被讀 機(jī)號	結(jié)  果
1	v1
2	v2
3	v3
4	v4

 

（Ⅱ）當(dāng)n=128時，要使所有機(jī)器都得到，至少需要多少個單位時間可完成計算？（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

（20）本小題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，分析和解決科學(xué)問題的能力.

    （Ⅰ）解：當(dāng)n=4時，只用2個單位時間即可完成計算.方法之一如下：

機(jī)器號	初始時	第一單位時間		第二單位時間		第三單位時間
		被讀 機(jī)號	結(jié)  果	被讀 機(jī)號	結(jié)  果	被讀 機(jī)號	結(jié)  果
1	v1	2	v1+ v2	3	v1+ v2+ v3+ v4
2	v2	1	v2+ v1	4	v2+ v1+ v4+ v3
3	v3	4	v3+ v4	1	v3+ v4+ v1+ v2
4	v4	3	v4+ v3	2	v4+ v3+ v2+ v1

（Ⅱ）解：當(dāng)n=128=2⁷時，至少需要7個單位時間才能完成計算.