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        1. (2013•揭陽(yáng)二模)已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2-lnx.
          (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)當(dāng)a=
          1
          8
          時(shí),證明:方程f(x)=f(
          2
          3
          )
          在區(qū)間(2,+∞)上有唯一解;
          (3)若存在均屬于區(qū)間[1,3]的α,β且β-α≥1,使f(α)=f(β),證明:
          ln3-ln2
          5
          ≤a≤
          ln2
          3
          分析:(1)先求出f(x),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出;
          (2)利用(1)的結(jié)論可知:f(x)-f(
          2
          3
          )
          在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,再驗(yàn)證函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件即可證明;
          (3)由f(α)=f(β)及(1)的結(jié)論知α<
          2a
          2a
          <β
          ,從而f(x)在[α,β]上的最大值為f(α)(或f(β)),又由β-α≥1,α,β∈[1,3],知1≤α≤2≤β≤3.利用其單調(diào)性解出即可.
          解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域(0,+∞),f′(x)=2ax-
          1
          x
          =
          2ax2-1
          x

          ∵a>0,令f'(x)>0得:x>
          2a
          2a
          ,令f'(x)<0得:0<x<
          2a
          2a

          ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,
          2a
          2a
          )
          ,單調(diào)遞增區(qū)間為(
          2a
          2a
          ,+∞)

          (2)證明:當(dāng)a=
          1
          8
          時(shí),f(x)=
          1
          8
          x2-lnx
          ,由(1)知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞),
          g(x)=f(x)-f(
          2
          3
          )
          ,則g(x)在區(qū)間(2,+∞)單調(diào)遞增且g(2)=f(2)-f(
          2
          3
          )
          =
          1
          2
          -ln2-
          1
          18
          +ln
          2
          3
          =
          2
          9
          -ln3
          <0,
          g(e2)=
          e4
          8
          -2-
          1
          18
          +ln
          2
          3
          >0.
          ∴方程f(x)=f(
          2
          3
          )
          在區(qū)間(2,+∞)上有唯一解.
          (3)證明:由f(α)=f(β)及(1)的結(jié)論知α<
          2a
          2a
          <β
          ,
          從而f(x)在[α,β]上的最大值為f(α)(或f(β)),
          又由β-α≥1,α,β∈[1,3],知1≤α≤2≤β≤3.
          f(1)≥f(α)≥f(2)
          f(3)≥f(β)≥f(2)
          ,即
          a≥4a-ln2
          9a-ln3≥4a-ln2

          從而
          ln3-ln2
          5
          ≤a≤
          ln2
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得方法,函數(shù)零點(diǎn)判定定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,靈活構(gòu)造函數(shù)和善于利用已經(jīng)證明的結(jié)論是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2013•揭陽(yáng)二模)在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,則m的值為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•揭陽(yáng)二模)如圖所示,C,D是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn),直徑AB=4,CE⊥AB,垂足為E,BD與CE相交于點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為
          2
          3
          3
          2
          3
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•揭陽(yáng)二模)一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體沿其棱的中點(diǎn)截去部分后所得幾何體的三視圖如圖示,則該幾何體的體積為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•揭陽(yáng)二模)在圖(1)所示的長(zhǎng)方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動(dòng),且AM=EN=a(0<a<
          2
          )
          .把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C,如圖(2)所示,其中θ∈(0,
          π
          2
          ]

          (1)當(dāng)θ=45°時(shí),求三棱柱BCF-ADE的體積;
          (2)求證:不論θ怎么變化,直線MN總與平面BCF平行;
          (3)當(dāng)θ=900a=
          2
          2
          .時(shí),求異面直線MN與AC所成角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•揭陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          x-ln(x+1)
          ,則y=f(x)的圖象大致為( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案