Question

若函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在R上有三個零點，且同時滿足：
①f（1）=0；
②f（x）在x=0處取得極大值；
③f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)．
（Ⅰ）當a=-2時，求y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若g（x）=1-x，且關于x的不等式f（x）≥g（x）的解集為[1，+∞），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由f（1）=0得：1+a+b+c=0，f'（x）=3x²+2ax+b．
因為f（x）在x=0處取得極大值，所以 f'（0）=0，即b=0．
因為f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，則f'（1）≤0，所以 3+2a≤0，所以 ．
（Ⅰ） 當a=-2時，f'（x）=3x²-4x，所以 f'（2）=4
由a=-2，b=0，1+a+b+c=0，所以 c=1
所以 f（x）=x³-2x²+1，則點（2，f（2））為（2，1），
所以切線方程為：y-1=4（x-2），即y=4x-7．
（Ⅱ） f（x）-g（x）=x³+ax²-1-a-1+x=x³+ax²+x-a-2，f（1）-g（1）=1+a+1-a-2=0
要使f（x）≥g（x）的解集為[1，+∞），必須x²+（1+a）x+（a+2）≥0恒成立
所以，△=（1+a）²-4（a+2）＜0（1），或（2）
解得：（1）得，解（2）得-2．
又∵，∴-2≤a．
所以使不等式f（x）≥g（x）的解集為[1，+∞）的實數(shù)a的取值范圍是[-2，-]．
分析：（Ⅰ）首先由題目給出的條件求出b的值，a的范圍及a和c的關系，然后把a=-2代入函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)在x=2時的導數(shù)，利用點斜式求y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）把c用a表示，化簡不等式f（x）≥g（x），把該不等式恒成立轉化為二次不等式恒成立的問題，然后利用“三個二次”的結合列式求解實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線的方程，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件，考查了數(shù)學轉化思想方法解答（Ⅱ）的關鍵是把三次不等式恒成立轉化為常見的二次不等式恒成立問題，是難題．