設各項均為正數的數列
的前n項和為Sn，已知
，且
對一切
都成立．
（1）若λ=1，求數列的通項公式；
（2）求λ的值，使數列是等差數列．
(1)
；(2)
．
解析試題分析：(1)本題已知條件是
，我們要從這個式子想辦法得出
與
的簡單關系式，變形為
，這時我們聯想到累乘法求數列通項公式的題型，因此首先由得
，又
，這個式子可化簡為
，這樣就變成我們熟悉的已知條件，已知解法了；(2)這種類型問題，一種方法是從特殊到一般的方法，可由
成等差數列，求出，然后把
代入已知等式，得
，
，這個等式比第(1)題難度大點，把化為，有當n≥2時，
，整理，得
，特別是可變形為
，這樣與第(1)處理方法相同，可得
，即
，從而說不得
是等差數列．
試題解析：（1）若λ=1，則
，
．
又∵
，∴， 2分
∴
，
化簡，得
．① 4分
∴當
時，
．②
②-①，得
，∴
（）． 6分
∵當n=1時，
，∴n=1時上式也成立，
∴數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，an=2n-1（）． 8分
（2）令n=1，得
．令n=2，得
． 10分
要使數列是等差數列，必須有
，解得λ=0． 11分
當λ=0時，，且
．
當n≥2時，，
整理，得，， 13分
從而
，
化簡，得
，所以
． 15分
綜上所述，
（），
所以λ=0時，數列是等差數列． 16分
考點：遞推公式，累乘法，與的關系，等差數列．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
數列
的前n項和為
,存在常數A,B,C,使得
對任意正整數n都成立.
⑴若數列為等差數列,求證:3A B+C=0;
⑵若
設
數列
的前n項和為
,求;
⑶若C=0,是首項為1的等差數列,設
數列
的前2014項和為P,求不超過P的最大整數的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
從數列
中抽出一些項，依原來的順序組成的新數列叫數列的一個子列.
（1）寫出數列
的一個是等比數列的子列；
（2）若是無窮等比數列，首項
，公比
且
，則數列是否存在一個子列
為無窮等差數列？若存在，寫出該子列的通項公式；若不存在，證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設等差數列
的公差為
，且
．若設
是從
開始的前
項數列的和，即
，
，如此下去，其中數列
是從第
開始到第
)項為止的數列的和，即
．
(1)若數列
,試找出一組滿足條件的
,使得： 
；
(2)試證明對于數列
，一定可通過適當的劃分，使所得的數列
中的各數都為平方數；
(3)若等差數列中
．試探索該數列中是否存在無窮整數數列
,使得為等比數列,如存在,就求出數列；如不存在，則說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2＋an＝2an＋1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Sn是數列{|an|}的前n項和，求Sn.
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滿足：
， 
；
滿足
，求數列
和.
的各項均為正數，且
成等差數列，
成等比數列.
，記
，
,求證：
中，已知
．
分別為等差數列
的第3項和第5項，試求數列
項和
．
的前n項和為Sn,已知
，且
對一切
都成立．