Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，一直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S（6，0）
①求拋物線方程；
②求△ABS面積的最大值．

Answer 1

分析：①利用點(diǎn)差法，確定AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，分類討論，根據(jù)AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S（6，0），即可求拋物線方程；
②分類討論，求出△ABS面積的表達(dá)式，即可求得其最大值．

解答：解：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M（x₀，y₀）
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x0=4-

p

2

又

y 2 1 =2px1 y 2 2 =2px2

得

y

2 1

-

y

2 2

=2p(x1-x2)，∴y0=

p

k

所以M(4-

p

2

，

p

k

)
依題意

p k

4- p 2 -6

•k=-1，∴p=4
∴拋物線方程為y²=8x----（6分）
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，2p=8，也滿足上式，∴拋物線方程為y²=8x
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由M（2，y₀）及kl=

4

y0

，lAB：y-y0=

4

y0

(x-2)
令y=0，得xK=2-

1

4

y

2 0

又由y²=8x和lAB：y-y0=

4

y0

(x-2)得：y2-2y0y+2

y

2 0

-16=0
∴S△ABS=

2

8

(16+y02)2(32-2y02)

≤

2

8

•

( 64 3 )3

=

64 6

9

----（12分）
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，AB的方程為x=2，|AB|=8，△ABS面積為

1

2

×8×4=16
∵

64 6

9

＞16，∴△ABS面積的最大值為

64 6

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．