Question

矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a，PA⊥面積ABCD，PA=

2

，若BC邊上存在唯一點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD．
（1）求a的值；
（2）M是AD上的一點(diǎn)，M在平面PQD上的射影恰好是△PQD的重心，求M到平面PDQ的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知，BC邊上存在唯一點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD．只要AQ⊥QD就可以，在邊長(zhǎng)分別是1和a的矩形中，BC 邊上存在唯一一個(gè)點(diǎn)使得AQ⊥QD，Q只能是BC邊上的中點(diǎn)，求出結(jié)果．
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，確定重心的位置，借助于斜邊上的中點(diǎn)確定要求的M的位置，重復(fù)使用勾股定理求點(diǎn)到面的距離．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，PA=

2

，
∴BC=

2 2+ 2 2

=2，
即a的值是2．
（2）由第一問(wèn)可知PQ⊥QD．
∴△PQD是一個(gè)直角三角形，
它的重心在PD中線QE上，設(shè)重心為O，
則OE=

1

3

QE=

1

6

PD=

6

6

，
過(guò)E在平面PAD上，做PD的垂線交AD于M，M即為所求的點(diǎn)，
在△DME和△DPA中，兩個(gè)三角形相似，
得到ME=

3

2

，
∴MO=

21

6

，
即M到平面PDQ的距離是

21

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)線面之間的距離的計(jì)算，考查三角形的五心，考查點(diǎn)到面的距離，考查線與面垂直的性質(zhì)，考查根據(jù)定理的應(yīng)用，是一個(gè)綜合題目．