Question

本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0）．過(guò)拋物線(xiàn)在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B，作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線(xiàn)MN與x軸的交點(diǎn)恰為F（1，0），求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），利用焦點(diǎn)為F（1，0），可求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線(xiàn)AC、BD的方程，求得M的橫坐標(biāo)，求出直線(xiàn)AD、BC的方程，求得N的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
（3）求得A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿(mǎn)足方程yy=2（1+x），即直線(xiàn)AB的方程為yy=2（1+x），從而可得結(jié)論．
解答：（1）解：由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），則，即p=2．
所以?huà)佄锞�(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．…（3分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁＞0，y₂＞0．
由y²=4x（y＞0），得y=2，所以y′=．
所以切線(xiàn)AC的方程為y-y₁=（x-x₁），即y-y₁=（x-x₁）．
整理，得yy₁=2（x+x₁），①且C點(diǎn)坐標(biāo)為（-x₁，0）．
同理得切線(xiàn)BD的方程為yy₂=2（x+x₂），②且D點(diǎn)坐標(biāo)為（-x₂，0）．
由①②消去y，得．
又直線(xiàn)AD的方程為，③
直線(xiàn)BC的方程為．  ④
由③④消去y，得．
所以x_M=x_N，即MN⊥x軸．
（3）證明：由題意，設(shè)M（1，y），代入（1）中的①②，得yy₁=2（1+x₁），yy₂=2（1+x₂）．
所以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿(mǎn)足方程yy=2（1+x）．
所以直線(xiàn)AB的方程為yy=2（1+x）．
故直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（-1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證的能力