Question

已知拋物線y²=2x，
（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

2

3

，0)，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；
（2）在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線x-y+3=0的距離最短，并求出距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線上y²=2x上的點(diǎn)P（m，n），利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得|PA|²=(m+

1

3

)2+

1

3

，
（2）設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離d的關(guān)系式，并求得d_min．

解答：解：（1）設(shè)拋物線上y²=2x上的點(diǎn)P（m，n）（m≥0），
則|PA|²=(m-

2

3

)2+n²=m²-

4

3

m+

4

9

+2m=m²+

2

3

m+

4

9

=(m+

1

3

)2+

1

3

，
∵m≥0，
∴當(dāng)m=0時(shí)，|PA|²達(dá)到最小值

4

9

，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）時(shí)，|PA|_min=

2

3

；
（2）設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，那么y²=2x，
則點(diǎn)P到直線的距離d=

|x-y+3|

2

=

| y2 2 -y+3|

2

=

|(y-1)2+5|

2 2

=

2

4

[（y-1）²+5]≥

5 2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，取“=”．
此時(shí)點(diǎn)P（

1

2

，1）．
即拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（

1

2

，1）時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離最短，最小值為

5 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，左支考查點(diǎn)到直線間的距離公式與兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．