Question

P，Q，M，N四點(diǎn)都在橢圓x2+

y2

2

=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知

PF

與

FQ

共線，

MF

與

FN

共線，且

PF

•

MF

=0．求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件可知MN⊥PQ．設(shè)MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，MN的方程為y=1，PQ的方程為x=0，由題設(shè)條件能夠推出四邊形PMQN的面積為

1

2

，|MN|•|PQ|=

1

2

×

2

×2

2

=2．當(dāng)MN，PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出|MN|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2k2+1

，所以S_{四邊形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(1-

1

2(k2+1/k2)+5

)≥

16

9

，由此入手結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С觯⊿_{四邊形PMQN}）_max=2，（S_{四邊形PMQN}）_min=

16

9

．

解答：解：∵

PF

•

MF

=0?

PF

⊥

MF

．即MN⊥PQ．
當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時(shí)，另一條直線必垂直于y軸．
不妨設(shè)MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，
∵F（0，1）
∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0
分別代入橢圓x2+

y2

2

=1中得：|MN|=

2

，|PQ|=2

2

．
S_{四邊形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

×

2

×2

2

=2
當(dāng)MN，PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，
設(shè)MN的方程為y=kx+1（k≠0），
代入橢圓x2+

y2

2

=1中得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 2k k2+2 )2+ 4 k2+2 ]

=

2 2 (1+k2)

k2+2

同理可得：|PQ|=

2 2 (1+k2)

2k2+1

，
S_{四邊形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=2×

2k4+4k2+2

2k4+5k2+2

=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(1-

1

2(k2+1/k2)+5

)≥

16

9

（當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

k2

即k=±1時(shí)，取等號(hào)）．
又S_{四邊形PMQN}=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)＜2，∴此時(shí)

16

9

≤S_{四邊形PMQN}＜2．
綜上可知：（S_{四邊形PMQN}）_max=2，（S_{四邊形PMQN}）_min=

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，解題昌要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤．