Question

已知f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，n∈N^*，試比較f(

2)

與

n2-1

n2+1

的大小，并且說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，我們易求出f(

2)

=1-

2

2n+1

，而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，故可將比較f(

2)

與

n2-1

n2+1

的大小，轉(zhuǎn)化為比較2ⁿ與n²的大�。�利用數(shù)學(xué)歸納法易證明結(jié)論．

解答：解：f(

2

)=

( 2 )n-( 2 )-n

( 2 )n+( 2 )-n

=

2n-1

2n+1

=1-

2

2n+1

，
而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，
∴f(

2

)與

n2-1

n2+1

的大小等價(jià)于2ⁿ與n²的大�。�
當(dāng)n=1時(shí)，2¹＞1²；當(dāng)n=2時(shí)，2²=2²；
當(dāng)n=3時(shí)，2³＜3²；當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=4²；
當(dāng)n=5時(shí)，2⁵＞5²．
猜想當(dāng)n≥5時(shí)，2ⁿ＞n²．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=5時(shí)，由上可知不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥5）時(shí)，不等式成立，即2^k＞k²，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2•2^k＞2k²，
又∵2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0（∵k≥5），即2^k+1＞（k+1）²，
∴n=k+1時(shí)，不等式成立．
綜合①②對(duì)n≥5，n∈N^*不等式2ⁿ＞n²成立．
∴當(dāng)n=1或n≥5時(shí)，f(

2

)＞

n2-1

n2+1

；
當(dāng)n=3時(shí)，f(

2

)＜

n2-1

n2+1

；
當(dāng)n=2或4時(shí)，f(

2

)=

n2-1

n2+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)的大小比較，數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．