Question

圓心在x軸上，半徑為

2

的圓M位于y軸的右側(cè)，且與直線x+y=0相切．
（1）求圓M的方程；
（2）若圓M與曲線C：y（y-mx-m）=0有四個不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心M（a，0），利用圓心在x軸上、半徑為

2

的圓C與直線x+y=0相切，可得圓心到直線x+y=0的距離等于半徑，根據(jù)圓M位于y軸右側(cè)，即可求得圓M的方程；
（2）根據(jù)圓與y=0有兩交點(diǎn)，由兩曲線要有4個交點(diǎn)可知，圓與y-mx-m=0（m≠0）要有2個交點(diǎn)，根據(jù)圓心到直線的距離d=

|0-2m-m|

1+m2

＜

2

且m≠0，即可寫出滿足題意的m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)圓心M（a，0）
∵圓心在x軸上、半徑為

2

的圓C與直線x+y=0相切，
∴圓心到直線x+y=0的距離為

|a|

2

=

2

，
∴a=±2
又圓M位于y軸右側(cè)，∴a=2，
∴圓M的方程為（x-2）²+y²=2；
（2）由（1）知，圓M的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r=

2

；
C：y（y-mx-m）=0表示兩條直線y=0和y-mx-m=0（m≠0），
∵y=0與圓M有兩個不同的交點(diǎn)，
∴圓M與曲線C：y（y-mx-m）=0有四個不同交點(diǎn)，等價于直線y-mx-m=0（m≠0）與圓M有兩個不同的交點(diǎn)，
∴圓心到直線的距離d=

|0-2m-m|

1+m2

＜

2

且m≠0，
∴m∈（-

14

7

，0）∪（0，

14

7

）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用．本題的突破點(diǎn)是理解曲線C：y（y-mx-m）=0表示兩條直線．