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        1. 21.設(shè)F1、F2分別為橢圓C=1(ab>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

          (1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);

          (2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;

          (3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPMkPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值,試對(duì)雙曲線=1寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.

          21.

          解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上.

          由橢圓上的點(diǎn)AF1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.

           

          又點(diǎn)A(1,)在橢圓上,因此=1得b2=3,于是c2a2b2=1.

           

          所以橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0).  

           

          (2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足:

          x

          x1=2x+1,y1=2y,                                                                

          因此,

          即(x+)2+=1為所求的軌跡方程.                                     

          (3)類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線:=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPMkPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.

          設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n),其中=1.

          又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xy).

           

          kPM,kPN,

           

          kPM·kPN·,

           

          y2b2n2m2b2代入得kPM·kPN.


          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)A(1,
          3
          2
          )
          到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
          (Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)Q(0.
          1
          2
          )
          求|PQ|的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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