Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，連結(jié)、分別交直線于、兩點(diǎn)．試問直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進(jìn)而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關(guān)鍵是確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo).首先設(shè)直線的方程，并與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用三點(diǎn)共線確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)，再計(jì)算直線、的斜率之積，這時(shí)會(huì)涉及到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1），故     4分
（2）設(shè)，若直線與縱軸垂直，  

則中有一點(diǎn)與重合，與題意不符，
故可設(shè)直線.           5分
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去得：
          6分
     7分
由三點(diǎn)共線可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直線、的斜率為定值.                                  13分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系.