Question

已知橢圓C：的左、右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且在x軸的上方，H是PF₁上一點(diǎn)，若，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
(Ⅰ)求橢圓C離心率e的最大值；
(Ⅱ)如果離心率e取(Ⅰ)中求得的最大值，已知b²=2，點(diǎn)M(-1，0)，設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過(guò)Q，M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)N，若，求直線l的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知，，則有與相似，
所以，，
設(shè)，
則有，解得，
所以，，
根據(jù)橢圓的定義，得，
∴，即，
所以，，
顯然在上是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，e²取得最大值，
所以，橢圓C離心率e的最大值為。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，解得：a²=4，
所以此時(shí)橢圓C的方程為，
由題意知直線l的斜率存在，故設(shè)其斜率為k，
則其方程為，
設(shè)，由于，
所以有，
∴，
又Q是橢圓C上一點(diǎn)，則，
解得：k=±4，
所以直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0。