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          已知曲線C：xy=1
          （1）將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，求得到的曲線C′的方程；
          （2）求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）由題設(shè)條件求出旋轉(zhuǎn)矩陣M=
          cos45°-sin45°
          sin45°cos45°
          ，經(jīng)過TM變換后
          x 
          y 
          →
          x′ 
          y′ 
          =
          		2
          2
          		-
          		2
          2
          		2
          2
          		2
          2
           
          x 
          y 
          ，代入曲線C的方程得y′2-x′2=2，從而求出所求；
          （2）由（1）知，只須把曲線y2-x2=2的焦點(diǎn)、漸近線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，即可得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．
          解答：解  （1）由題設(shè)條件，M=
          cos45°-sin45°
          sin45°cos45°
          =
          		2
          2
          		-
          		2
          2
          		2
          2
          		2
          2
          ，
          TM：
          x 
          y 
          →
          x′ 
          y′ 
          =
          		2
          2
          		-
          		2
          2
          		2
          2
          		2
          2
          x 
          y 
          =
          		2
          2
          x          		-
          		2
          2
          		2
          x
          2
          		+
          		2
          2
          ，即有
          x′=
          		2
          2
          x-
          		2
          2
          y
          y′=
          		2
          2
          x+
          		2
          2
          y
          ，
          解得
          x=
          		2
          2
          (x′+y′)
          y=
          		2
          2
          (y′-x′)
          ，代入曲線C的方程為y′2-x′2=2．
          所以將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，得到的曲線是y2-x2=2．…（5分）
          （2）由（1）知，只須把曲線y2-x2=2的焦點(diǎn)、漸近線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，即可得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．
          曲線y2-x2=2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-2），（0，2），漸近線方程x±y=0，
          變換矩陣N=
          cos(-45°)-sin(-45°)
          sin(-45°)cos(-45°)
          =
          		2
          2
          		2
          2
          -
          		2
          2
          		2
          2
          ，
          		2
          2
          		2
          2
          -
          		2
          2
          		2
          2
          0 
          -2 
          =
          -
          		2
          		 
          -
          		2
          		 
          ，
          		2
          2
          		2
          2
          -
          		2
          2
          		2
          2
          0 
          2 
          =
          		2
          		 
          		2
          		 
          ，
          即曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-
          		2
          ，-
          		2
          ），（
          		2
          ，
          		2
          ）．而把直線x±y=0要原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°恰為y軸與x軸，因此曲線C的漸近線方程為x=0和y=0．…（10分）
          點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩陣的應(yīng)用，同時(shí)考查了旋轉(zhuǎn)變換和雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)An（xn，yn）作一斜率為kn=-
          1
          xn+2
          的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1），點(diǎn)列An（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}，其中x1=
          11
          7
          ．
          （1）求xn與xn+1的關(guān)系式；
          （2）求證：{
          1
          xn-2
          +
          1
          3
          }是等比數(shù)列；
          （3）求證：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)A1（x1，y1）作斜率k1的直線，交曲線C于另一點(diǎn)A2（x2，y2），再過A2（x2，y2）作斜率為k2的直線，交曲線C于另一點(diǎn)A3（x3，y3），…，過An（xn，yn）作斜率為kn的直線，交曲線C于另一點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
          xn+1
          x
          2
          n
          +4xn
          (x∈N*)
          （1）求xn+1與xn的關(guān)系式；
          （2）判斷xn與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
          （3）求證：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)An（xn，yn）作一斜率kn=-
          1
          xn+2
          的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1）．
          （1）求xn與xn+1之間的關(guān)系式；
          （2）若x1=
          11
          7
          ，求證：數(shù)列
          1
          xn-2
          +
          1
          3
          是等比數(shù)列；
          （3）求證：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…（-1）nxn＜1（n∈N*）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2009•濱州一模）已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)An（xn，yn）作一斜率為kn=
          1
          xn+2
          的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1），點(diǎn)列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}，其中x1=
          11
          7
          ．
          （I）求xn與xn+1的關(guān)系式；
          （II）令bn=
          1
          xn-2
          +
          1
          3
          ，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
          （III）若cn=3n-λbn（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊(cè)答案