Question

已知常數(shù)，向量，經(jīng)過定點以為方向向量的直線與經(jīng)過定點以為方向向量的直線相交于，其中，
（1）求點的軌跡的方程；（2）若，過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍。

Answer 1

（I）；（II）

試題分析：（I）利用向量共線定理和坐標運算即可得出；
（II）對直線的斜率分類討論，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=kx+1與雙曲線的方程聯(lián)立，即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的數(shù)量積和對k分類討論即可得出．
試題解析：（1）設(shè)點的坐標為，則
，
又，，
，
又因為向量與向量平行，所以
向量與向量平行，所以，兩式聯(lián)立消去得的軌跡方程為，即。
（2）因為，所以的軌跡的方程為，
此時點為雙曲線的焦點。
（I）若直線的斜率不存在，其方程為，
與雙曲線的兩焦點為，
此時
（II）若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，
由，設(shè)交點為
，則，

當時，，；
當或時，，；
綜上可知，的取值范圍是。