Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，就是要求得，因此我們要尋找關(guān)于的兩個(gè)等式，本題中有離心率，是一個(gè)等式，另一個(gè)是橢圓過點(diǎn)，即，再結(jié)合可解得，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要求△的面積，應(yīng)該先確定位置，也即確定直線，我們可以設(shè)的方程為，條件是以為底邊的等腰三角形怎么應(yīng)用？這個(gè)條件用得較多的是其性質(zhì)，三線合一，即取的中點(diǎn)，則有，我們就用這個(gè)來求出參數(shù)的值，方法是設(shè)，的中點(diǎn)為，把直線方程代入橢圓方程，可得，從而求出用表示，再由可很快求得，以后就可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面積.
試題解析：（1）由已知得.              1分
解得.又，所以橢圓G的方程為.     4分
（2）設(shè)直線l的方程為.
由得.  ①             6分
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，
則.                     8分
因?yàn)?i>AB是等腰△的底邊，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2.        10分
此時(shí)方程①為，解得，
所以，所以|AB|=.
此時(shí)，點(diǎn)P（－3，2）到直線AB：的距離，
所以△的面積S=.                        12分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交綜合問題(相交弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線距離，三角形面積等).