Question

已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|
（1）求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；
（2）若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知Q為切點(diǎn)，可知PQ⊥OQ，結(jié)合勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²及已知|PQ|=|PA|，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a，b之間的關(guān)系
（2）設(shè)圓P的半徑為R，由圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，可知R=OP，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合（1）中a，b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值，進(jìn)而可求圓的方程
法二：圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓P半徑最小時(shí)為與圓O外切的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心為P過原點(diǎn)與l垂直的直線l'與l的交點(diǎn)P₀，可求

解答：解：（1）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
∵|PQ|=|PA|故PA²=PO²-1
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化簡可得，2a+b-3=0
（2）設(shè)圓P的半徑為R，
∵圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，
∴R=|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，|OP|min=

3

5

5

．
此時(shí)，b=-2a+3=

3

5

，Rmin=

3

5

5

-1．
得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為(x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3

5

5

-1)2．
另解：圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓P半徑最小時(shí)為與圓O外切的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心為P過原點(diǎn)與l垂直的直線l'與l的交點(diǎn)P₀．
r=

3

22+12

-1=

3 5

5

-1．
又l'：x-2y=0，
解方程組

x-2y=0 2x+y-3=0

，得

x= 6 5 y= 3 5

．即P₀（ 

6

5

，

3

5

）．
∴所求圓方程為(x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3

5

5

-1)2．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，還考查了一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力，試題具有一定的綜合性