Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在一個(gè)最小正整數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，S_n＞Tn恒成立？若存在求出這個(gè)M值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知s_n的遞推關(guān)系式，根據(jù)a_n=s_n-s_n-1即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）把a(bǔ)_n的表達(dá)式代入b_n中，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出T_n，然后證明當(dāng)n＞M時(shí)，S_n＞Tn恒成立，解答是不是存在M值．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n+1（n∈N*）
（II）bn=12×32-(n+1)=36×

1

3n

，
b1=12，

bn+1

bn

=

1

3

，∴數(shù)列{bn}是以12為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴Tn=

12[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=18(1-

1

3n

).
由此可知12≤T_n＜18．
而{S_n}是一個(gè)遞增數(shù)列，
且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17

2

3

，S₄=14，T₄=17

80

81

，S5=20.
故存在一個(gè)最小正整數(shù)M=4，當(dāng)n＞M時(shí)，S_n＞T_n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)a_n=s_n-s_n-1即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，還要熟練掌握等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列是高考的�？碱}，需要同學(xué)們熟練掌握．