Question

已知定義在R上的奇函數(shù)，f（x）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a＞

2

e

時(shí)，若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可求f（0）=0，，然后設(shè)設(shè)x＜0，則-x＞0，代入已知可求f（-x0，結(jié)合奇函數(shù)f（x）=-f（-x），可求
（2）由f（0）=0，可得除0外還有兩正數(shù)零點(diǎn)和兩負(fù)數(shù)零點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根即可．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)x＞0時(shí)，結(jié)合a的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性可知，要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則f(

1

a

)＞0，代入可求
另解：當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)a=

lnx+1

x

(x＞0)=g(x)，對(duì)g（x）求導(dǎo)，從而可判斷又g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，結(jié)合函數(shù)的圖象可判斷a的范圍

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽
則f（0）=0，
設(shè)x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
則f(x)=

lnx-ax+1  x＞0 0              x=0 -ln(-x)-ax-1 x＜0

（2）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，f（0）=0，則除0外還有兩正數(shù)零點(diǎn)和兩負(fù)數(shù)零點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根即可．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)=

1

x

-a，
①若a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，不合；
②若a＞0時(shí)，令f′(x)=

1

x

-a=0得x=

1

a

，
則f（x）在(0，

1

a

)上遞增，在(

1

a

，+∞)上遞減，
要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
則f(

1

a

)=-lna＞0⇒a∈(0，1)
又因?yàn)閤→0時(shí)，f（x）→-∞，
或f(

1

a+e

)=ln

1

a+e

-

a

a+e

+1＜ln

1

e

+1-

a

a+e

=-

a

a+e

＜0，
且f(

2

a

)=ln

2

a

-2+1=ln

2

a

-1＜lne-1=0(a＞

2

e

)，
則f(

1

a

)f(

1

a+e

)＜0，f(

1

a

)f(

2

a

)＜0，
故當(dāng)a∈(

2

e

，1)時(shí)滿(mǎn)足題意．
另解：當(dāng)x＞0時(shí)，
設(shè)a=

lnx+1

x

(x＞0)=g(x)，g′(x)=-

lnx

x

=0⇒x=1，
又g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，
再作出函數(shù)的草圖可得，0＜a＜1，又a＞

2

e

，
故當(dāng)a∈(

2

e

，1)時(shí)滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值，求解參數(shù)的范圍，本題有一定的難度