Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），且f（x）≠0，滿足當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=2．
（1）求證：f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）解不等式f（3x-x²）＞4；
（3）解方程[f(x)]2+

1

2

f(x+3)=f(2)+1．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x＞y代入關(guān)系式表示出設(shè)f（x），令x=x-y代入所的式子，再由題意判斷出f（x）、f（y）的大小，進(jìn)行證明出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)f（1）=2和關(guān)系式求出f（2）=4，代入不等式，再由（1）的結(jié)果列出不等式，進(jìn)行求解；
（3）利用f（2）=4、f（1）=2，以及關(guān)系式求出f（0）和f（3）的值，再把方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化為關(guān)于f（x）的二次方程，求出f（x）的值，再利用關(guān)系式和函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)值的范圍，舍去一個(gè)值進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）設(shè)x＞y，∵f（x+y）=f（x）f（y），∴f（x）=

f(x+y)

f(y)

，
令x=x-y，代入上式得，f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
∵x＞y，∴x-y＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，
∵f（x-y）＞1，∴

f(x)

f(y)

＞1，則f（x）＞f（y），
∴f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）∵f（1）=2，f（x+y）=f（x）f（y），∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4，
由于f（3x-x²）＞4，∴f（3x-x²）＞f（2），
又∵f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，∴3x-x²-2＞0，解得1＜x＜2，
∴不等式的解集是（1，2）；
（3）令x=0，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵f（1）=2，∴f（0）=1，
令x=2，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（2+1）=f（2）f（1）=8，即f（3）=8，
∴f（x+3）=f（x）f（3）=8f（x），代入[f(x)]2+

1

2

f(x+3)=f(2)+1得，
[f（x）]²+4f（x）-5=0，解得f（x）=1或-5，
令y=-x代入f（0）=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

1

f(x)

，
∵f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，f（0）=1；
∴f（x）＞0，則f（x）=-5舍去，故f（x）=1，即x=0，
所以所求的方程解是0．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)抽象函數(shù)的題目，需要根據(jù)題意和關(guān)系式對(duì)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹百x值”，再代入對(duì)應(yīng)的式子進(jìn)行求解，涉及了用做商法證明函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)性的應(yīng)用，考查了分析問題和解決問題的能力．